Berkeley 양자물리 / 제1장 (4)

고전이론의 한계

 

20 플랑크 상수     

특수상대성이론에서는 빛의 속도(\(c=3\times10^{10} \text{cm/sec}\))가 아주 중요한 역할을 한다. 물질입자는 빛보다 빨리 움직일 수 없고, 에너지와 정보도 빛보다 빨리 전달될 수 없다. 또한 빛의 속도는 상대론을 적용해야만  하는지 아니면 비상대론을 적용해도 되는지 결정하는 기준이 된다. 물체의 속도가 광속 c에 비해 아주 작으면 비상대론을 적용해도 차이가 크지 않다.

이와 비슷하게 양자역학에도 양자역학을 적용해야 하는지 아니면 고전물리학을 사용해도 괜찮은지를 결정하는 기준이 있을까? 양자역학에서는 어떤 상수가 광속 c의 역할을 할까? 이런 역할을 하는 상수가 실제로 존재하는데, 이 상수는 플랑크 상수로 알려져 있다. 플랑크 상수는 h로 표기하고 그 값은 아래와 같다. 

$$\begin{aligned}h&=6.626\times10^{-27}\text{erg sec}\\&=6.626\times10^{-34}\text{joule sec}\end{aligned}$$

플랑크 상수의 차원(dimension)은  에너지×시간 = 길이×운동량 = 각운동량 = 작용(action)이다. 이런 이유로 플랑크 상수를 작용 양자(quantum of action)라고도 부른다.

양자론의 적용 기준은 대략 다음과 같다. 물리계의 작용(action)이 플랑크 상수 정도이면 양자역학이 적용되어야 하고, 물리계의 작용이 플랑크 상수보다 압도적으로 크면 고전물리학을 적용해도 된다. 물론 작용이 작다고 해서 고전물리학이 전혀 적용되지 않는다는 의미는 아니다. 때에 따라서는 고전물리학이 유용한 통찰력을 제공하기도 한다.

Max Karl Ernst Ludwig Plank(1858~ 1947) 뮌헨과 베를린에서 공부한 이후 1879년에 박사학위를 취득했다. 그의 학위 논문은 열역학 2법칙에 관한 것이었다. 킬 대학을 거쳐 1899년에 베를린 대학의 이론물리학 교수로 임명되었다. 1928년 70세의 나이로 은퇴 하였으며 1919년 노벨상을 수상했다. 플랑크는 초기에 열역학 연구에 몰두 했으며 평생 이 분야에 관심을 보였다. 베를린에서 플랑크는 열복사에 관한 실험결과를 알게 되었고 흑체복사법칙을 유도하였다. 그의 연구가 양자물리학의 시작이 되었고, 플랑크 상수는 1900년 발표된 논문에 처음 등장했다. 그의 기념비적인 발견 후에도 플랑크는 양자물리학의 발전에 크게 기여했다.

 

 

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거시 현상을 기술할 때 주로 사용하는 MKS 또는 cgs 단위계에서는 플랑크 상수 값이 아주 작다. 따라서 거시 세계의 작용(action)은 플랑크 상수에 비해 엄청나게 크다. 

괘종시계의 진자를 예로 들어보자. 차원이 작용인 물리량을 구하기 위해 진자의 주기에 총 에너지를 곱해 보자. 진자의 주기를 대략 “1초”라고 하자. 진자의 총 에너지는 1erg 보다는 클 것이다.(역자: 1erg=1gram(cm/sec)\(^2)\) 이다) 따라서 진자의 작용은 플랑크 상수보다 \(10^{26}\)배 이상 크기 때문에, 괘종시계는 고전물리학을 적용해도 문제되지 않는다.

다른 예로 회전하는 물체를 고려해 보자. 차원이 작용인 물리량으로 물체의 각운동량을 사용하자. 물체의 관성 모멘트를 \(1\text{gram cm}^2\)라고 하고 각속도를 1 rad/sec 라고 하면 각운동량은 \(1\text{gram cm}^2/\text{sec}\) 이다. 이 값은 플랑크 상수보다 \(10^{26}\)배 이상 크다. 모래 한 알 정도의 가벼운 물체가 한 시간에 한 바퀴 정도로 느리게 회전하는 경우에도 작용은 플랑크 상수보다 압도적으로 크다. 

마지막으로 조화 진동자를 고려해 보자. 차원이 작용인 물리량을 구하기 위해 진동자의 최대 진폭에 진동자의 최대 운동량을 곱해 보자. 조화 진동자의 질량 1 gram, 최대 속도 1 cm/sec, 최대 진폭 1 cm 라고 하면, 조화 진동자의 작용은 1 erg sec 이다. 이 값은 플랑크 상수보다 \(10^{26}\)배 이상 크다.

양자론의 적용 기준을 거시계에 적용해 보면 거시계를 고전적으로 기술해도 문제가 없다는 사실을 알 수 있다.

 

22 양자론의 적용 기준과 불확정성원리    

양자론의 적용 기준이 무슨 의미인지 자세히 알아보자. 고전물리학에서는 모든 역학변수를 임의의 정확도로 측정할 수 있다고 가정한다. 고전물리학의 역학변수는 위치의 성분, 운동량의 성분, 각운동량의 성분, 전기장의 성분, 자기장의 성분 등을 포함한다. 하지만 미시계의 행동을 세심히 분석한 결과, 실제로는 이런 변수를 특정하거나 측정하는 데 근본적인 한계가 존재한다는 사실을 알게 되었다. 이 한계는 1927년 하이젠베르크에 의해 발견되었고 불확정성원리라고 부른다. 

불확정성원리는 한 쌍의 변수 (\(q,p\))에 적용된다. \(q\)가 위치이고 \(p\)가 운동량이라고 할 때 불확정성원리는 아래와 같다.

\(\Delta{q}\Delta{p}\ge\frac{h}{4\pi}\)     (22a)

여기서

\(\Delta{q}\)는 \(q\) 오차의 제곱평균(root mean square)이고 \(\Delta{p}\)는 \(p\) 오차의 제곱평균이다. 두 변수의 불확정성의 곱은 플랑크 상수보다 크기 때문에, 두 변수를 동시에 정확히 알 수 없다. 플랑크 상수가 아주 작기 때문에 거시물리학은 불확정성원리에 의해 영향을 받지 않는다. 따라서 불확정성원리는 거시물리학에 대한 우리의 경험적 지식(모든 역학변수를 임의의 정확도로 측정할 수 있다)과 모순되지 않는다.

 

23 불확정성원리의 의미     

불확정성원리에 대한 일반적인 설명은 다음과 같다. “측정행위는 항상 시스템을 교란한다. 예를 들어 입자의 위치를 정확하게 측정하면 계가 교란되어 입자의 운동량이 불확정하게 되고, 반대로 입자의 운동량을 정확하게 측정하면 입자의 위치가 불확정하게 된다. 따라서 입자의 위치와 운동량을 동시에 측정하려 하면 (22a)에 의해 정확도의 한계가 정해진다.”

통상적인 양자역학 교과서도 불확정성원리를 이런 식으로 설명한다. 저자는 이런 설명이 전적으로 잘못된 것이라고 할 수는 없지만, 다소 오해의 소지가 있다고 생각한다. 이런 설명은 핵심을 간과하고 있다. 저자가 생각하는 불확정성원리의 진정한 의미는 다음과 같다. “불확정성원리는 고전물리학의 개념이 적용될 수 있는 한계를 규정한다. 고전물리학에서는 모든 역학변수가 시간의 함수(definite function of time)로 주어지고, 임의의 정확도로 측정될 수 있다고 가정한다. 하지만 이런 고전물리학의 계는 실세계에 존재하지 않는다. 만약 우리가 실제 계(actual system)를 고전적 계(classical system)로 기술하고자 하면 우리는 근사치를 얻을 수 밖에 없는데, 불확정성원리는 이러한 근사의 한계가 어디까지인지를 우리에게 말해준다.”

 

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이 아이디어에 대해 좀 더 알아보기 위해 1차원 운동하는 입자를 고려해 보자. 고전역학은 물체의 위치를 위치변수 \(q=q(t)\)를 통해 기술한다. 물체의 질량이 \(m\)이고 물체가 천천히 움직이고 있다고 가정하면, 물체의 운동량은 다음과 같이 주어진다. \(p=p(t)=mdq(t)/dt\). 불확정성원리를 잘못 이해하고 있는 대표적인 경우는 다음과 같다. “불확정성원리에 의해 두 변수의 초기값 \(q(0)\), \(p(0)\)을 동시에 정확히 측정할 수는 없지만, 우리는 물체의 운동을 \(q\), \(p\)변수를 이용해 기술할 수 있다. 즉, 모든 물체는 정확한 궤도에 의해 기술될 수 있다. 다만 불확정성원리에 의해 초기값을 정확히 알 수 없고, 이에 따라 이 물체가 어느 궤도에 있는지를 알 수 없을 뿐이다.”

하지만 이는 사실이 아니다. 실험에 의하면 우리는 생각을 근본적으로 바꾸어야 한다. 궤도 운동이라는 고전적인 개념은 부정되어야 한다. 어느 한 순간에  \(q(t)\), \(p(t)\)의 값이 무엇이냐고 묻는 것은 무의미하다. 이는 마치 미국의 왕이 누구냐고 묻는 것과 같다. 

 

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섹션22에서는 위치와 운동량이 (22a)의 관계에 있다고 말했다. 하지만 섹션24에서는 (22a)에 등장하는 위치와 운동량 자체가 의미가 없다고 말하니 독자들은 당황스러울 것이다. 이에 대한 답은 다음과 같다. 양자역학은 물체의 운동을 기술하기 위해 수학적 객체인 \(q\), \(p\)를 도입할 수 있는데, 이들 변수는 여러 면에서 고전적 위치와 운동량과 닮았지만 동일한 것은 아니다. 식 (22a)가 의미하는 바는 “양자역학 객체 \(q\), \(p\)를 고전적인 위치, 운동량으로 간주하여 물체의 운동을 고전적으로 해석하면, 이들 변수의 값을 정확히 특정하는 데 한계가 있다”는 것이다.

 

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측정 과정을 고전적으로 분석해 보아도 불확정성원리가 유도되지 않는다. 불확정성원리는 실험적으로 발견된 사실을 반영한 것이다. 실세계에 존재하는 입자들은 고전적인 점 입자처럼 행동하지 않는다.